Parité d'une fonction

Définition 

Soit \(I\) une partie de \(\mathbb R\).
On dit que \(I\) est symétrique par rapport à \(0\) lorsque, pour tout \(x\) appartenant à \(I\), \(-x\) appartient aussi à \(I\).

Définitions

Soit \(f\) une fonction dont le domaine de définition \(I\) est symétrique par rapport à \(0\).

• La fonction \(f\) est dite paire sur \(I\) lorsque, pour tout réel \(x\) de \(I\), \(f(-x)=f(x)\).
  
• La fonction \(f\) est dite impaire sur \(I\) lorsque, pour tout réel \(x\) de \(I\), \(f(-x)=-f(x)\).
  

Propriété

Le plan est muni d'un repère orthonormé.

• La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
  
• La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Exemples

• La fonction carré \(f:x\mapsto x^2\) est paire sur \(\mathbb{R}\). En effet, pour tout réel \(x\)\(\), \(f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\).
  
• La fonction cube \(g:x\mapsto x^3\) est impaire sur \(\mathbb{R}\). En effet, pour tout réel \(x\)\(\),  \(g(-x)=(-x)^3=-x^3=-g(x)\).

La figure suivante montre les représentations graphiques de ces deux fonctions de référence dans un repère orthonormé.